REPASO DE MATEMATICA: "EXPRESIONES ALGEBRAICAS"

5. GUÍA DE REPASO:
“OPERANDO EXPRESIONES ALGEBRAICAS”
Se define una expresión algebraica como “la combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras representan cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas” . Las expresiones algebraicas permiten traducir expresiones del lenguaje habitual al lenguaje matemático. Ejemplo: Si se quiere expresar el perímetro y el área de un terreno rectangular, el largo del terreno, mide “ ” metros y “ ” metros de ancho, entonces:
Perímetro= 2x+2y Área = x y
Otros ejemplos:
El doble de un número 2n
La mitad de un número n/2
El doble de la suma de m y n 2(m+n)
El cubo de n disminuido en 7 n3-7
El triple del cuadrado de p 3p2
El triple de la suma de m, n y p 3(m+n+p)
Alcides Astorga del Instituto Tecnológico de Costa Rica, define una expresión algebraica como “una combinación de constantes y potencias de variables que estén ligadas por algunos de los símbolos +, -, *, /, en un número finito y cada cantidad separada de otras por el signo + ó -, recibe el nombre de Término Algebraico” .
En un término se deben distinguir los siguientes elementos:
• Variables: Son cantidades expresadas con letras que pueden tomar valores dentro de un subconjunto de números reales, para representarlas se utilizan las últimas letras del abecedario (x,y,z).
• Constantes: Son cantidades fijas expresadas con letras, para representarlas se utilizan las primeras letras del abecedario (a,b,c).
• Coeficiente: es el factor numérico, indica las veces que el factor literal se repite como sumando. En el término 6a2 el coeficiente es 6, también puede ser una literal, así en el término mx el coeficiente es m.
• Exponentes: Son los superíndices que afectan a los diversos términos de las expresiones.
• El signo, que precede al término, puede ser + o -.
Una expresión que contiene un término se llama monomio, si contiene dos términos se habla de binomio, de trinomio si contiene tres términos y si contiene más términos se habla de polinomio.
Por ejemplo, si se tienen cajas de plástico con 4 espacios para bebidas, se puede denominar a cada caja que tengan todos sus espacios con bebidas mediante la letra “a”, a cada caja que tenga un espacio libre mediante la letra “b”, “c” a cada caja que tengan 2 espacios libres, “d” a cada caja que tengan 3 espacios libres y “e” a cada caja que no tenga bebidas.


Así, la expresión 3a + 5b + c +5d + e indica que hay 3 cajas llenas con bebidas, 5 a las que les falta una bebida, 1 a la que le faltan 2 bebidas, 5 a la que le falta 3 bebidas y una que no tiene bebidas.
Simplificación de términos semejantes:
Si una bodega tiene distintos estantes y se quiere construir un inventario con el número de cajas de bebidas de distinto tipo (ejemplo anterior).


En el primer estante hay 4 cajas llenas con las bebidas y 2 con 2 espacios libres y 24 con 3 espacios libres. La expresión:
(4a + 2c + 24d)
representa la situación en el primer estante.
En el segundo estante hay 1 caja con un espacio libre y 5 con 3 espacios libres. La expresión:
(b + 5d)
representa la situación en el segundo estante.
En el tercer estante hay 8 cajas llenas y 2 con 2 espacios libres. La expresión
(8a + 2c)
representa la situación en el tercer estante.
Luego en la bodega se tiene
(4a + 2c + 24d)+ (b + 5d) + (8a + 2c) = (4a + 8a) + b + (2c + 2c) + (24d + 5d)
lo que se puede reducir a 12a + b + 4c + 29d.
Luego la simplificación de términos semejantes significa sumar o restar los términos que tengan los mismos factores literales.
5.1. EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS:
Se evalúa una expresión algebraica cuando se asigna valores numéricos a los factores literales.
En el ejemplo anterior (de la bodega), si se quiere determinar cuántas bebidas hay en total. Así las cajas tipo “a” contienen 4 bebidas, las tipo “b” contienen 3 bebidas, las tipo “c” contienen 2 bebidas, las tipo “d” contienen 1 bebida y las tipo “e” contienen 0 bebidas. Luego para determinar el número total de bebidas que se tiene en la bodega basta sustituir a = 4, b= 3, c=2, d=1 y e=0.
Así la expresión: 12a + b + 4c + 29 d = 12(4)+3+4(2)+29(1)=48+3+8+29 = 88
Luego se tiene 88 bebidas en la bodega.
Asimismo para contar los espacios libres en las cajas sirve la misma expresión algebraica sustituyendo ahora a = 0, b = 1, c=2, d=3, e=4
12a + b + 4c + 29d = 12(0) + (1) + 4(2) + 29(3) = 96
Otros ejemplos de expresiones algebraicas son:
a) b) c) 4xy2+
5.2. USO DE PARÉNTESIS EN EXPRESIONES ALGEBRAICAS:
Se debe recordar que en una expresión numérica se efectúan primero las operaciones entre paréntesis, luego las multiplicaciones y/o divisiones, y finalmente las sumas y restas.
Así:
(2+4-3)(23+8) = (3)(31)=63
Las mismas reglas aplican a las expresiones algebraicas.
Ejemplos:
((a + 3b - 5a) + 4 a + (6b + 2d + 3b)) = ((3b- 4 a) + 4 a + (9b + 2d))= 3b + 9b + 2d = 12b + 2d
5.3. CONCEPTOS FUNDAMENTALES
a) VARIABLES:
Es una letra o símbolo que representa cualquier elemento de un conjunto numérico, se acostumbra representar las variables con letras que pueden tomar valores dentro de un subconjunto de números reales. Por lo regular se utilizan las últimas letras del abecedario (x, y, z, etc.) para denotar variables.
b) CONSTANTES:
Son cantidades fijas expresadas con letra, casi siempre se utilizan las primeras letras del abecedario para denotar constantes (a,b,c).
Algunos ejemplos de constantes conocidas::
= 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751...
e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995...
c) COEFICIENTES:
Se asigna el nombre de Coeficientes a “los números que aparecen multiplicando a las variables” .
En un término, se dice que cualquier factor es coeficiente de los factores restantes. Por ejemplo, en el término 3x3y2, el 3 es coeficiente de x3y2, x3 es coeficiente de 3y2 y y2 es coeficiente de 3x3. “Los coeficientes que sean números (como el tres del ejemplo anterior) se dicen coeficientes numéricos, mientras que los coeficientes que sean letras se dicen coeficientes literales” .
d) EXPONENTES:
Son los superíndices que afectan a los diversos términos de las expresiones; es el número o expresión algebraica colocada a la derecha y arriba de otro que indica la cantidad de veces que ha de multiplicarse por sí mismo: en 892, el 2 es el exponente y la expresión significa 89*89.
Si n es un entero positivo, la notación exponencial an que se define en la siguiente tabla, representa el producto del número real “a” multiplicado “n” veces por sí mismo. La expresión an se lee “a” a la enésima potencia o simplemente “a a la n”. El entero positivo se llama exponente y el número real a se llama “base”.
Caso General Casos Especiales
an=a*a*a*...a
a1=a
a2= a*a
a5=a*a*a*a*a

Ejemplos:
1.- 54=5*5*5*5=625
2.-
es importante observar que si n es un entero positivo, entonces una expresión como 3an significa 3(an) pero no (3a)n. El número real 3 se llama coeficiente de an en la expresión 3an.
Ejemplo
-5*23=-5*8=-40
Ampliando la definición de an a exponentes no positivos: exponente cero y negativo.
Definición (a 0 )
Ejemplo



Si m y n son enteros positivos, entonces

En vista de que el número total de factores de a a la derecha es m+n, esta expresión es igual a am+n ; es decir,


De esta forma se puede llegar a las leyes de exponentes que muestran a continuación:
Ley Ejemplo















Las leyes de los exponentes pueden generalizarse:
x4x2x3= x4+2+3=x9
(3ij)4=34i4j4=91i4j4
Simplificar una expresión donde hay potencias de números reales, significa cambiarla a otra en que cada número real aparece solo una vez y todos los exponentes son positivos. Teniendo presente que los denominadores representan números reales diferentes de cero.
Simplificar:
1) (3x3y2)(4xy8)= 12x3+1y2+8=12x4y10
2)
El siguiente teorema es útil para la solución de problemas con exponentes negativos, siempre que

Ejemplo de simplificación de expresiones con exponentes negativos.

e) TÉRMINO ALGEBRAICO:
Es el producto y/o división de una o más variables (factor literal) y un coeficiente o factor numérico. Por ejemplo:
1) 3xy2 2) –ab 3) 4) 5
En el término algebraico “3xy2”; 3 es el factor numérico y xy2 es el coeficiente literal. En el término algebraico “–ab”;-1 es el factor numérico y ab es el coeficiente literal.
Se denomina grado de un término algebraico, a la suma de los exponentes de su factor literal, por ejemplo:
La expresión: 3xy2 tiene grado 1 + 2 = 3;
-0.03 a 5b2c3de4 tiene grado 5+2+3+1+4=15
Cuando una expresión algebraica tiene un sólo termino algebraico, recibe el nombre de Monomio, o sea que un monomio puede ser una constante o bien, una expresión algebraica en la cual las potencias de las variables son de exponentes enteros positivos y están relacionados únicamente por la multiplicación y además no contiene letras en el denominador .
Ejemplos de Monomios:
1) -6xy2z 2) 3) 4) 5
Ejemplo de expresiones algebraicas que no son Monomios:
1) 6+x 2) 3) 9x-3y2 4) 3x1/2
Si la expresión algebraica tiene dos términos algebraicos recibe el nombre de Binomio, o sea que un binomio es un polinomio que está formado por la suma de dos monomios que no son semejantes entre sí .
Ejemplos de Binomios:
1) -6xy2z+xyz 2) -y 3) 4) 5+x
Si una expresión algebraica tiene tres términos algebraicos, recibe el nombre de Trinomio, es decir, un trinomio es un polinomio que está formado por la suma de dos monomios que no son semejantes entre sí.
1) -6xy2z+xyz-1 2) -y+1/2 3) -2 4) 5+x+y
Se debe recordar que las expresiones algebraicas con exponentes positivos se llaman polinomios.
5.4. GRADO DE UN MONOMIO:
Se denomina grado de una expresión algebraica a la suma de los exponentes de las variables . De acuerdo a esta definición el grado de los siguientes monomios es:
1) -2x2 de grado 2 2) 3x de grado 1 3) -5x3 de grado 3
Si una expresión algebraica contiene más de una variable, entonces el grado de esta expresión se calcula sumando los exponentes de las incógnitas que aparecen en ella. Por ejemplo, el grado del monomio xy es 2, porque es la suma del exponente de x (que es 1, porque x = x1) y del exponente de y (que también es 1). El grado del monomio es 11, que es la suma de 3 (exponente de x), 2 (exponente de y) y 6 (exponente de z). Nótese que el grado del monomio 5x2 sería 2, o sea, sería el exponente de la incógnita, y que siempre se considera que en un monomio aparecen todas las incógnitas que hay en la ecuación, con sólo considerar que están elevadas al exponente 0. Por ejemplo, en la ecuación xy − 13y3 = 4 los monomios son xy (aparecen las dos incógnitas de la ecuación, y su grado es 2), − 13y3 (aparece sólo la incógnita y, pero aparece también x con exponente 0, puesto que x0 = 1) y 4 (no aparecen ni x ni y, pero se puede considerar como x0y0). Así, viendo la ecuación como xy − 13x0y3 = 4x0y0. Esto no cambia el grado de ninguno de los monomios. El monomio 4 tiene entonces grado 0.
5.5. TÉRMINOS SEMEJANTES:
Dos términos son semejantes cuando ambos son numéricos o cuando tienen las mismas variables y sus exponentes son respectivamente iguales .
Ejemplos:
Semejantes No semejantes
6 ; -13 6 ; -13a

-3x ; 11xy


5.6. OPERACIONES CON MONOMIOS:
Realizar operaciones con expresiones algebraicas, consiste básicamente en aplicar las propiedades de las operaciones definidas en el conjunto de los números reales (asociatividad, conmutatiavidad, distributividad, etc), así como las propiedades de las potencias y de los radicales.
5.6.1Suma de Monomios:
Solamente se pueden sumar dos o más monomios si son semejantes, la suma de monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes, es decir :
axn + bxn = (a+b)xn
Nota: recordar que los términos semejantes son aquellos sumandos que tienen las mismas letras y afectadas por los mismos exponentes.
Sumar:
1) 5a, 7a => (5 + 7) a => 12a
2) -11m, 8m =>(-11+8)m => -3m
3) –xy,-9xy => (-1 + -9)xy => -10xy
4) mn,-11mn => (1 + (-11))mn => -10mn
5) 9ab, -15ab => (9 + (-15))ab => -6ab

5.6.2 Resta de Monomios:
La resta de monomios se define como la operación inversa de la suma: se dice que ax-bx=cx, si cx+bx=ax. O sea que la resta entre el monomio ax y el monomio bx, dados en ese orden, es el monomio cx tal que cx + bx = a. Si la resta que se plantea es ax – bx, el monomio ax se llama “minuendo” y el monomio “bx” sustraendo, con respecto a la operación planteada. Entonces la aresta es un número que sumado al sustraendo da como resultado el minuendo .
Nota 1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra.
Nota 2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas variables y afectadas por los mismos exponentes .
De:
1) -7a Restar 4a =
(-7a) + (– 4a) = (-7 + -4)a = -11a
2) 8m Restar 11m =
(8m) + ( -11m)=(8 + -11)m = -3m

3) –mn Restar -9 mn =
(-mn) + (- -9mn)=(-1+9)mn = 8mn
4) – 8xy Restar -11xy
(-8xy) + (- -11xy) =(-8+11)xy= 3xy
5) 2a Restar 3b =
2a + -3b = 2a-3b ya que las literales no son semejantes, no es posible simplificar la expresión algebraica.

5.6.3 Multiplicación de Monomios:
La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma base, es decir :
axn * bxm = ( a * b )xn+m

Multiplicar:
1) -ab por ab = (-1)(1) a1+1b1+1 = -a2b2
2) 5a2y por -6x2 = (5)(-6) a2x2y = -30a2x2y
3) -4m2 por -5mn2p = (-4)(-5)m2+1n2p) = 20m3n2p
4) 2x2 por 3y2 = ( 2)(3)x2y2 = 6x2y2
5) 2m por 4m2n2 = (2)(4)m1+2n2) = 8m3n2


5.6.4 División de Monomios:
Sólo se pueden dividir monomios con la misma parte literal y con el grado del dividendo mayor o igual que el grado de la variable correspondiente del divisor. La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente, el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tengan la misma base, es decir:
axn bxm = ( a b )xn-m
Ejemplo:
1.-
Si el grado del divisor es mayor, se obtiene una fracción algebraica, ejemplo:
2.-
3.- 14a3b4 entre -2ab 2
Solución:
14 a 3 b4 /(-2ab 2) = recordar que + dividido - da -, 14 dividido -2 es -7 y como los exponentes se restan, entonces se tiene que:
14 a 3 b4 /(-2ab 2) = -7a 3-1 b4-2 = -7a 2 b 2
4.- (-100m3n entre 10mn)=
Solución:
(-100m3n /10mn)= - 10m 3-1 n1-1 = - 10m 2

5.6.5 Potenciación de Monomios:
Para resolver la potencia de un monomio se eleva cada elemento, al exponente de la potencia, es decir :
(axn)m= am xn*m
Ejemplos:
1.- (2x3)3=23(x3)3= 2*2*2*x3*3= 8x9
2.- (4a 2)2=
Solución:
4 2a 2x2= 16 a 4
3.- (-5 a) 3 =
Solución:
(-5) 3 a 1x3 = -125 a 3
5.6.6 Radicación de Monomios:
Es la operación inversa de la potenciación, es decir, permite averiguar qué cantidad, multiplicada por sí misma un número indicado de veces, da como resultado un valor determinado. Ejemplo:
1.- 2*2*2*2= 16, es decir 24=16, o sea que
Hallar las siguientes raíces:
2.- =
Solución:
=2a 2/2 b4/2 = a b 2
3.-
Solución:
3a 3/3 b 9/3 = 3ab3

5.7. POLINOMIOS:
Un polinomio es cualquier expresión algebraica que está formada por una suma de monomios. “Si un polinomio no involucra variables, recibe el nombre de Polinomio Constante. Si un polinomio involucra “n” variables recibe el nombre de Polinomio en n variables” .
Grado de un Polinomio:
Polinomios Grado
Es de grado cuatro.
Es de grado tres.
Es de grado dos.
5x - 1 Es de grado uno.
8 Es de grado cero, pues .

Orden de un polinomio:
Los polinomios se ordenan escribiendo los exponentes en orden descendente, es decir, de mayor a menor. También se pueden ordenar los polinomios en orden ascendente, es decir, de menor a mayor. Por ejemplo, el polinomio 2x - 3 + 5x2 no tiene orden. Al expresarlo en los dos tipos de orden mencionados anteriormente tenemos:

Polinomio Orden
Orden descendente.
Orden ascendente.
5.8. OPERACIONES CON POLINOMIOS:
8.8.1 Suma de Polinomios:
Recibe el nombre de “suma o adición de dos polinomios A(x) y B(x), a otro polinomio S(x) cuyos términos son la suma de los términos de igual grado de los polinomios sumandos” .
Ejemplo:
1.- Dados los polinomios: A(x) = -1/2x4+5x3-3x2+x-6 y B(x) = 1/2X4-3x3+4/3x2-3x+2
Hallar S(x) = A(x) + B(x)
Una manera práctica para solucionar este problema es colocar los polinomios ordenados, en columnas, o sea los monomios de igual grado.
+
B(x)=
Como cada término de la suma S(x) se obtiene sumando los coeficientes de los monomios de igual grado, se puede escribir que:

Por lo tanto queda:


Hallar las siguientes sumas:
2.- 3a  2b - c, 2a  3b  c
Solución:


3.- -7x - 4y + 6z ; 10x - 20y - 8z ; -5x + 24y +2z
Solución:


5.8.2 Resta de Polinomios:
“Es otro polinomio que resulta de sumar al minuendo el opuesto del sustraendo, para restar dos polinomios se le suma al primer polinomio, el opuesto del segundo. El Polinomio opuesto es el que resulta de sustituir en sus monomios, cada coeficiente por su opuesto, por ejemplo, si un monomio es 5x2 su opuesto es -5x2, porque son opuestos sus coeficientes, 5 y -5” . Ejemplo:
Sean los polinomios P(x)= x3-2x2+8x-6 & Q(x)= 3x4-7x3+5x2+x-1
Calcular P(x)-Q(x)=


5.8.3 Multiplicación de Polinomios:
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por cada monomio del segundo polinomio, colocando los términos semejantes (monomios del mismo grado) en columna. Se suman los productos obtenidos.
Ejemplo: Sean los polinomios P(x) = -4x3+5x2+x-1
Q(x) = 3x2-x+6
“Para resolver esta operación se colocan los polinomios uno debajo del otro y se comienza multiplicando el primer término de Q(x), por todos los monomios de P(x) obteniendo la primera fila de monomios para sumar. Luego se multiplica el segundo monomio de Q(x) por todos los de P(x), que da como resultado la segunda fila. Se colocan los monomios semejantes que se van obteniendo en la columna, por grados. Se dejan espacios en blanco si faltan monomios de algún grado” .
Multiplicar:
1.- -x + 3 por -x + 5=
Solución:

2.- Multiplicar (3x-2y)(y+2x)
Solución:

5.8.4 División de Polinomios:
“La división de polinomios se hace con un proceso semejante a la división de números enteros.
1) Se divide el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor, obteniéndose así el primer monomio del cociente.
2) Se multiplica el monomio obtenido en el cociente, por todo el polinomio divisor, y se resta al dividendo (recordar que para restar basta cambiar el signo y sumar).
3) Con este polinomio diferencia, se repite el proceso. Y así hasta que se obtenga un polinomio de grado menor que el dividendo. Este es el resíduo, y la operación termina” .
Ejemplo:
1.- Sean los polinomios P(x) = 6x3 – 9x2 + 5 & Q(x) = 2x2 + x
Calcular: P(x) : Q(x)

El mismo procedimiento se puede utilizar con la división con el radical invertido, como se verá en los siguientes ejemplos:
Dividir:

2.- entre

Solución:


3.- entre

Solución:

5.8.5 Potenciación de Polinomios:
1. Se multiplica la base de la potencia tantas veces como lo indica su exponente.
2. Se resuelve como si fuera una multiplicación normal.
Nota: recordar que en el producto de dos o más potencias con igual base, se escribe la base común y se suman los exponentes .
Desarrollar:
1.- (a5 +7b4)2=
Solución:



2.- (x-y)3=
Solución:


5.8.6 Productos Notables:
Se llaman productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, o sea sin verificar la multiplicación.
Caso I: Cuadrado de la suma de dos cantidades:
Elevar al cuadrado a+b equivale a multiplicar este binomio por sí mismo y se tendrá como resultado:
( a + b )2 = esto es efectuando el producto.
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, mas el duplo de la primera cantidad por la segunda, mas el cuadrado de la segunda cantidad.
Desarrollar (x+4)2=
Cuadrado del primero = x2
Duplo del primero por el segundo = 2x  4 = 8x
Cuadrado del segundo = 16
Conclusión: ( a + b )2 = x2 + 8x + 16




Caso II: Cuadrado de la diferencia de dos cantidades:
Elevar (a-b) al cuadrado equivale a multiplicar esta diferencia por sí misma.
( a - b )2 = esto es efectuando el producto.
Desarrollando (x-4)2=
Cuadrado del primero = x2
Duplo del primero por el segundo = 2x  -4 = -8x
Cuadrado del segundo = 16
Conclusión: ( a - b )2 = x2 - 8x + 16
Caso III: Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades:
Sea el producto (a+b)(a-b) =
Se concluye que la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo